任長水校尉時所寫的文章. 文中建議朝廷開墾荒地，發展農業，增強國力，安定民生，鞏固邊防，體現了祖沖之不僅在科學領域成就顯著，還對國家的政治和經濟發展有著深入的思考和獨到的見解。齊明帝看到後想令他“巡行四方，興造大業，可以利百姓者”，但因南齊統治已無法維持，其主張未能實施。
水碓磨是一種利用水力驅動的糧食加工工具，由南北朝時期的祖沖之改良。以下是其相關介紹：
構造原理
水碓磨主要由水輪、轉軸、碓杆、石臼、石磨等部件構成。水輪安裝在水流湍急處，受水流衝擊而轉動，轉軸與水輪相連，隨水輪轉動將動力傳遞給碓杆和石磨。碓杆一端連線水輪轉軸，另一端裝有碓頭，在水輪帶動下，碓頭上下運動舂米。石磨則透過齒輪或皮帶等傳動裝置與水輪轉軸相連，在轉軸帶動下旋轉磨面.
發展歷程
早在漢代以前，我國就發明了水碓，西漢桓譚的著作中已有相關記載。魏末晉初，杜預發明連機碓。到了南朝劉宋時代，祖沖之在連機碓和水磨基礎上，將水碓和水磨結合，製造出能同時舂米、磨面的水碓磨，極大提高生產效率。
作用與意義
水碓磨的出現，讓糧食加工從人力、畜力時代邁入水力時代，大幅提高加工效率，減輕勞動強度，有力推動農業生產發展。同時，它還帶動了水磨坊等相關產業發展，促進了社會經濟繁榮。其利用自然力的設計理念和機械傳動原理，為後世機械工程技術發展提供了借鑑，對機械製造、水利工程等領域產生積極影響。
牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發現並採用的一種用於計算球體體積的方法 。
當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分即為牟合方蓋 。劉徽構造牟合方蓋，是希望透過它來證實《九章算術》中球體體積公式的錯誤，並求出正確公式 。
祖沖之與兒子祖𣈶承襲劉徽的想法，利用“牟合方蓋”解決了球體體積公式的問題 。他們提出“冪勢既同，則積不容異”的祖𣈶原理，即等高處截面面積相等，則二立體的體積相等 。
祖沖之計算球體體積是與其子祖𣈶共同完成的，具體過程如下：
利用牟合方蓋確定關係：劉徽曾指出球與外切“牟合方蓋”的體積之比為π:4，但未求出牟合方蓋體積。祖沖之父子在此基礎上繼續研究，先取每邊為1寸的正方體棋子八枚，拼成一個邊長為2寸的正方體，在正方體內畫內切圓柱體，再在橫向畫一個同樣的內切圓柱體，兩個圓柱所包含的立體共同部分即牟合方蓋 ，且得出球體積是牟合方蓋體體積的四分之三.
提出祖𣈶原理： 祖𣈶提出“冪勢既同，則積不容異”的原理，即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行於這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等.
計算對照立體體積：取一個底面半徑和高均為R的圓錐和一個底面半徑和高均為R的圓柱，設橫截面距離頂點的距離為d，對於圓錐，其橫截面積表示式為πd2；對於半球，根據勾股定理可得其橫截面半徑r=√R2-d2，橫截面積為π(R2-d2)，而圓柱的橫截面積為πR2，由此可知半球的橫截面積與圓錐的橫截面積之和等於圓柱的橫截面積.
求出球體體積公式：根據祖𣈶原理，半球的體積和圓錐的體積之和等於圓柱的體積。已知圓柱體積為πR3，圓錐體積為?πR3，則半球體積為，πR3-?πR3=?πR3從而得出球體體積公式為4\/3πR3。祖𣈶定理是什麼？不知道的話，那就聽下章我來講解吧，這章就先到這了，拜拜。